Forgot your password?
Cardinality Activity 1
Предварителни бележки за учителите
Цели
Децата да изследват и разберат, че дадено множество (редица) може да бъде същинско подмножество на друго (подредица на дрyга редица) и между тях да има 1-1 (едно-еднозначно) съотвествие.
Описание
Те взимат две копия на поток от естествените числа и дават едното на робот, който удвоява всеки входен елемент, а другото – на робот, който изхвърля всеки втори входен елемент.
Сътрудничество
Това е чудесна тема за дискусии. Двата метода за определяне на това дали едно множество е по-голямо от друго (1-1 съответствие и релацията “ част – цяло”) са в противоречие при безкрайните множества. Какво означава “по-голямо” в този случай? (Какво? Смислено ли е да се говори за “по-голямо”)
Дейност 1:
Генериране на нечетните числа по два начина
ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВО
Може ли да получим една и съща редица, като веднъж използваме всички естествени числа, а след това използваме естествените числа през едно?
Задача A: Удвояване на всеки член от редицата
Обучете робот, на име Doubler (Удвоител) , който получава число в гнездо и дава на птичка двойно по-голямо число. Тествайте робота, като му дадете кутийка от вида:
Дайте на птичката In (Вход) число и наблюдавайте какво се появява в гнездото Out (Изход). Сега дайте на In друго число. Ако Doubler работи правилно, каквото и число да дадете на птичката In, би трябвало да получите два пъти по-голямо число в гнездото Out.
Изпразнете гнездото Out. Дайте на птичката In последователно числата 1, 2, 3, 4, и 5.
Какво се получава в гнездото Out?
|
Сега да дадем на Doubler всички естествени числа (1, 2, 3, и тъй нататък до безкрайност). Понеже не можем да напишем всички естествени числа, ще ни трябва робот, който да ги генерира. Това е познатият ни Add 1 (Брояч). |
Естественото число е цяло положително. числочислоn zero. |
За да тествате Add 1, дайте му кутийка от вида:
и наблюдавайте числата, които отиват в гнездото Nat Nums (Естествени числа).
Сега свържете Doubler с редицата от естествените числа, генерирани от робота Add 1. за целта дайте на робота Doubler кутийката:
Гнездото
идва тук
Когато клетката In е празна, роботът няма да прави нищо. Дайте на Add 1 кутийката:
Птичката
идва тук
За да накарате роботите да работят заедно, извадете гнездо с яйце в него. Дайте му подходящо име. Пуснете птичката в клетката Numbers (Числа) , а гнездото в клетката In.
Забелязвате ли какви числа се появяват?
Очаквате ли да се появи нечетно число?
Обяснете
Запазете робота си в тетрадката!
Задача B: Разделяне на числова редица на две подредици
Обучете робот на име Split (Раздвоител). Когато естествените числа пристигат в гнездото Input, роботът Split трябва да ги раздвоява, т.е. да ги дава алтернативно на птичките A и B.
Сложете гнездо, в което пристигат естествените числа, генерирани от Add 1, в клетката Input и дайте кутийката на Split. Разбира се на Add 1 давате кутийката:
Какви числа отиват в гнездото A?
Какви числа отиват в гнездото B?
Задача C: Да поразсъждаваме върху двата начина, по които получихме четните числа
Копирайте гнездото, в което се получават естествените числа от робота Add 1 . Пуснете Add 1 в действие и ще видите, че всяко гнездо получава числата 1, 2, 3 и т.н.
Започнете отново и дайте по едно копие от гнездото на всеки от роботите Doubler и Split. Сега дайте на Add 1 кутийката:
Ако всички роботи действат до безкрайност, ще има ли разлика между редиците от числа, които се получават в гнездото на птичката B и в изходното гнездо на Doubler?
Ако има разлика, каква е тя?
Ако няма разлика, как е възможно двата робота да генерират една и съща редица, при положение, че Doubler използва всяко естествено число (и следователно изходните числа са точно толкова, колкото и входните), а Split поставя само половината от естествените числа в гнездото на B?[KK1]
Задача D: Могат ли четните числа да танцуват с естествените?
Ако видите дискотека, пълна с танцуващи момчета и момичета, как можете да кажете кои са повече или пък са равен брой? Можете ли да разберете това, без да броите.
Как ще убедите някого, че сте прави?[KK2]
Представете си сега, че пускате робота Doubler в действие и след като Add 1 даде число на птичката си, това число се копира и започва да танцува със съответното число, генерирано от Doubler. И така 1 танцува с 2, 2 с 4, 3 с 6, и т.н.
Ако това продължи до безкрайност, дали всяко четно число ще танцува с естествено число?
А всяко естествено число, ще танцува ли с четно число?
Вярно ли е тогава, че четните числа са по-малко от естествените?
В този момент може да се почувствате малко объркани. Безкрайността е създавала проблеми даже на най-добрите математици. Галилео Галилей е писал през 1638 г., че ако разсъждаваме по един начин, ще заключим, че четните числа са по-малко от естествените, а ако разсъждаваме по друг – че те са точно толкова, колкото и естествените.
А вие какво мислите?
Каква е разликата в сравнение с танцуващите момчета и момичета? [KK3]
Задача Е. Може ли да получите нечетните числа с робот, различен от SPLIT?
Упътване: Модифицирайте робота Doubler
Дейност 1, Задача B: как да обучим робота Split
[KK1] Макар че множеството на четните числа е същинско подмножество на естествените числа, съществува 1-1 съответствие между тези множества, т.е. те са равномощни. Само за безкрайните множества е вузможно да бъдат равномощни на същински свои подмножества.
Децата вероятно ще имат различни мнения по този въпрос и това е чудесна възможност за групова дискусия.
[KK2]Очевидно е, че те са един и същи брой в крайния случай, но дали е очевидно, че едно-еднозначното съответствие може да се обобщи за безкрайния случай?
[KK3] Танцуването по двойки е един начин да си представин едно-еднозначното съотвествие. Ако между две множества существува 1-1 съотвествие, те са равномощни (казваме още, че имат едно и също кардинално число) даже едното да е същинско подмножество на другото (т.е. всичките му елементи да се съдържат в него).
Една дефиниция за бекрайно множество е: множество, което е равномощно на свое същинско подмножество.